Verifique se π1 e π2 são perpendiculares:
π1:(x, y, z)=(4,3,1)+lambda(1,0,1)+mu(3,1,0) e π2: y-3 z=0

Passo 1

O enunciado pede para verificar se os planos π₁ e π₂ são perpendiculares. Para isso vamos usar o conteúdo de geometria analítica: dois planos são perpendiculares se, e somente se, seus vetores normais são ortogonais (ou seja, o produto escalar dos dois normais é zero).

Passo 2

No plano π₁, como ele está em forma paramétrica com dois vetores diretores v₁ e v₂, podemos obter seu vetor normal fazendo o produto vetorial n₁ = v₁ × v₂, pois esse produto gera um vetor ortogonal aos dois vetores diretores.
Calculando o vetor normal n₁:
n1 = (1,0,1) times (3,1,0) = i & j & k 1 & 0 & 1 3 & 1 & 0 = (-1,,3,,1)

Passo 3

No plano π₂, que está dado pela equação implícita y – 3z = 0, o vetor normal n₂ é simplesmente os coeficientes de x, y e z na equação:
n2 = (0,,1,,-3)

Passo 4

Agora vamos verificar se n₁ e n₂ são ortogonais, calculando o produto escalar:
n1 cdot n2 = (-1)cdot 0 + 3cdot 1 + 1cdot(-3) = 0 + 3 - 3 = 0

Passo 5

Como o produto escalar é zero, concluímos que os vetores normais são ortogonais e, portanto, os planos π₁ e π₂ são perpendiculares.

Resposta

Sim. Os planos π₁ e π₂ são perpendiculares, pois seus vetores normais têm produto escalar zero.

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