Calcule a distância do ponto P=(2,3,2) até o plano pi determinado pelas retas r: X=(0,1,0)+t(-1,1,0), t in R e s: X=(0,1,0)+t(1,0,2), t in R.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(2,3,2) ao plano pi determinado pelas retas
r: X = (0,1,0) + t,(-1,1,0), s: X = (0,1,0) + t,(1,0,2)
O que vamos usar:
– Identificar um ponto A comum ao plano e os vetores diretores v1,v2 das retas.
– Calcular o vetor normal n=v1timesv2.
– Escrever a equação do plano em forma ncdot(X-A)=0.
– Aplicar a fórmula da distância de ponto a plano:
d = l|ncdot(P-A)r||n|

Passo 2

As duas retas partilham o ponto
A = (0,1,0)
Seus vetores diretores são
v1 = (-1,1,0), v2 = (1,0,2)

Passo 3

Calculamos o produto vetorial n = v1 times v2. Os componentes são
nx = 1cdot2 - 0cdot0 = 2, ny = 0cdot(-1) - (-1)cdot2 = 2, nz = (-1)cdot0 - 1cdot1 = -1
Logo,
n = (2,2,-1)

Passo 4

A equação do plano surge de
ncdotl(X - Ar) = 0 Longrightarrow 2,(x-0) + 2,(y-1) -1,(z-0) = 0,
que se simplifica para
2x + 2y - z - 2 = 0

Passo 5

Usamos a fórmula da distância de P ao plano:
d = l|ncdot(P-A)r||n|
Aqui P-A = (2,3,2) - (0,1,0) = (2,2,2), então
ncdot(P-A) = 2cdot2 + 2cdot2 -1cdot2 = 6, |n| = raiz2^2 + 2^2 + (-1)^2 = 3
Portanto,
d = |6|3 = 2

Resposta

A distância do ponto ao plano é 2.

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