Calcule a distância entre a reta
r: x-32=y+14=z
e o plano pi: X=(0,-1,0)+lambda(1,1,4)+t(2,0,-1), lambda, t in R.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre a reta
r:x-32=y+14=z
e o plano
pi:;X=(0,-1,0)+lambda(1,1,4)+t(2,0,-1),, lambda,tinR
O conteúdo é geometria analítica no espaço: para achar essa distância basta verificar se a reta é paralela ao plano (caso em que usaríamos a fórmula da distância ponto-plano) ou se ela interceta o plano (nesse caso a distância é zero).

Passo 2

Escrevemos a reta em forma paramétrica escolhendo parâmetro s:
x=3+2s, y=-1+4s, z=s,
portanto um ponto em r é P0=(3,-1,0) e o vetor direção é
vec dr=(2,4,1)
Do plano extraímos dois vetores geradores
vec u=(1,1,4), vec v=(2,0,-1),
e calculamos o vetor normal vec n=vec utimesvec v. Por exemplo, em forma de determinante,
vec n= i&j&k 1&1&4 2&0&-1 =(-1,,9,,-2)

Passo 3

Para ver se a reta é paralela ao plano, fazemos o produto escalar
vec drcdotvec n=(2,4,1)cdot(-1,9,-2)=-2+36-2=32neq0
Como vec drcdotvec nneq0, a reta não é paralela ao plano, logo elas se intersectam em um ponto.

Resposta

A distância entre a reta r e o plano pi é zero.

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