Determine a posição relativa entre as retas r e s :
r: X=(1,1,1)+lambda(2,2,1), lambda in R s: X=t(1,1,1), t in R

Passo 1

O enunciado dá duas retas em R^3 em forma paramétrica e pede a posição relativa entre elas (paralelas, concorrentes ou reversas). O conteúdo aqui é geometria analítica de retas no espaço. Para resolver, vamos extrair um ponto e o vetor diretor de cada reta, testar paralelismo entre os vetores diretores e, se não forem paralelos, verificar se existe solução para a igualdade dos pontos que define interseção.

Passo 2

Identificamos para
r:;X=(1,1,1)+lambda(2,2,1)
o ponto Pr=(1,1,1) e o vetor diretor vr=(2,2,1).
Para
s:;X=t(1,1,1)
o ponto Ps=(0,0,0) e o vetor diretor vs=(1,1,1).
Testamos se vr e vs são paralelos, ou seja, se existe kinR tal que
(2,2,1)=k,(1,1,1)
Isso exige 2=k, 2=k e 1=k, o que é impossível. Logo, as retas não são paralelas.

Passo 3

Como não são paralelas, elas ou se cruzam (concorrentes) ou são reversas (skew). Para ver se se cruzam, igualamos os pontos genéricos de cada reta e resolvemos em lambda e t:
(1+2lambda,;1+2lambda,;1+lambda) =(t,;t,;t)
Isso gera o sistema
1+2lambda = t, 1+lambda = t
Da primeira igualdade temos t=1+2lambda. Substituindo na segunda:
1+lambda=1+2lambda ;Longrightarrow;lambda=0,
logo t=1. Como esses valores satisfazem ambas as equações, existe ponto comum.

Resposta

As retas r e s são concorrentes: elas se interceptam no ponto (1,1,1).

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