Calcule a distância do ponto P=(1,0,0) ao plano determinado pelos vetores u=(-1,0,1) e v=(1,2,0) e que contém o ponto A=(2,2,2).

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(1,0,0) a um plano que passa por A=(2,2,2) e é paralelo aos vetores u=(-1,0,1) e v=(1,2,0).
Conteúdo: geometria vetorial em R^3, produto vetorial para encontrar o vetor normal ao plano e fórmula da distância ponto–plano.

Passo 2

Para usar a fórmula da distância, precisamos do vetor normal ao plano. Esse normal é dado por
n ;=; u times v ;=; i & j & k -1 & 0 & 1 1 & 2 & 0 ;=; (-2,,1,,-2)

Passo 3

Calculamos o vetor que liga A a P:
AP ;=; P - A ;=;(1-2,;0-2,;0-2);=;(-1,,-2,,-2)

Passo 4

A distância d de P ao plano é
d ;=;l|ncdotAPr||n|
Primeiro, o produto escalar
ncdotAP =(-2)cdot(-1)+1cdot(-2)+(-2)cdot(-2) =2-2+4=4,
logo l|ncdotAPr|=4.
Em seguida,
|n| =raiz(-2)^2+1^2+(-2)^2 =raiz4+1+4 =3
Portanto,
d=43

Resposta

43

Exercícios relacionados