Determine a posição relativa entre as retas r e s :
r: x=y-14=-z-2 s:l x=3-t y=-2 t z=5+t

Passo 1

O enunciado pede a posição relativa entre as retas r e s no espaço. Vamos usar geometria analítica espacial: transformar cada reta em forma paramétrica, comparar seus vetores diretores para checar paralelismo e, se não forem paralelas, resolver o sistema para ver se há interseção ou se elas são reversas.

Passo 2

Da forma simétrica de r
x = y-14 = -z - 2,
introduzimos o parâmetro lambda de modo que
x = lambda, y-14 = lambda, -z - 2 = lambda
Isso dá
y = 4lambda + 1, z = -lambda - 2,
logo a forma paramétrica de r é
(x,y,z) = (0,1,-2) + lambda,(1,4,-1)

Passo 3

A reta s já está em forma paramétrica:
x = 3 - t, y = -2t, z = 5 + t,
ou seja
(x,y,z) = (3,0,5) + t,(-1,-2,1)

Passo 4

Comparamos os vetores diretores
u = (1,4,-1), v = (-1,-2,1)
Para serem paralelos, precisaríamos de um escalar k tal que v = k,u. Não existe k que satisfaça todas as componentes simultaneamente, logo não são paralelas.

Passo 5

Para checar interseção, igualamos
(0+lambda,;1+4lambda,;-2-lambda) = (3 - t,;-2t,;5 + t)
Isto gera o sistema
lambda = 3 - t, 1 + 4lambda = -2t, -2 - lambda = 5 + t
Da primeira equação t = 3 - lambda. Substituindo na segunda:
1 + 4lambda = -2(3 - lambda)implies 2lambda = -7implies lambda = -tfrac72,
logo t = 3 - (-tfrac72) = tfrac132. Na terceira equação teríamos
-2 - l(-tfrac72r)=tfrac32, 5 + tfrac132=tfrac232,
que não coincidem. Portanto não existe interseção.

Resposta

As retas r e s não são paralelas nem se intersectam, ou seja, são reversas.

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