Calcule a distância do ponto P=(3,2,1) até a reta r: x=3+t, y=-2 t, z=1-2 t.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P=(3,2,1) até a reta r dada pelas equações paramétricas x=3+t, y=-2t, z=1-2t. O conteúdo envolvido é distância de ponto a reta em \mathbb{R}^3, usando produto vetorial e norma de vetores.

Passo 2

Escolhemos um ponto Q na reta para t=0, logo Q=(3,0,1). O vetor diretor de r é
\vec v = (1,-2,-2).

Passo 3

Calculamos o vetor que liga Q a P:
\vec{QP} = P - Q = (3,2,1) - (3,0,1) = (0,2,0).

Passo 4

A fórmula para a distância entre P e a reta é
\mathrm{dist} = \frac{\|\vec{QP} \times \vec v\|}{\|\vec v\|}.

Passo 5

Computamos o produto vetorial:
\vec{QP} \times \vec v = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\\\ 0 & 2 & 0 \\\\ 1 & -2 & -2 \end{vmatrix} = (-4,\,0,\,-2).

Passo 6

Calculamos as normas:
\|\vec{QP} \times \vec v\| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + (-2)^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5},
\|\vec v\| = \sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-2)^2} = \sqrt{9} = 3.

Passo 7

Substituindo na fórmula:
\mathrm{dist} = \frac{2\sqrt{5}}{3}.

Resposta

A distância do ponto P à reta r é \tfrac{2\sqrt{5}}{3}.

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