A medida angular em radianos entre \vec{u} e \vec{v} é \frac{\pi}{4},\|\vec{u}\|=\sqrt{5} e \|\vec{v}\|=1. Calcule a medida angular em radianos entre \vec{u}+\vec{v} e \vec{u}-\vec{v}.

Passo 1

O enunciado diz que o ângulo entre \vec{u} e \vec{v} é \tfrac{\pi}{4}, com \|\vec{u}\|=\sqrt{5} e \|\vec{v}\|=1. Precisamos achar o ângulo \varphi entre \vec{u}+\vec{v} e \vec{u}-\vec{v}. Vamos usar a definição de ângulo via produto escalar.

Passo 2

Para dois vetores \vec{a} e \vec{b}, vale
\cos\varphi=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\|\vec{a}\|\|\vec{b}\|}.
Aqui tomamos \vec{a}=\vec{u}+\vec{v} e \vec{b}=\vec{u}-\vec{v}.

Passo 3

Calculamos o numerador:
(\vec{u}+\vec{v})\cdot(\vec{u}-\vec{v}) =\|\vec{u}\|^2-\|\vec{v}\|^2 =5-1=4,
pois os termos \vec{u}\cdot\vec{v} se anulam.

Passo 4

Agora o módulo de \vec{u}\pm\vec{v}:
\|\vec{u}\pm\vec{v}\|^2 =\|\vec{u}\|^2+\|\vec{v}\|^2\pm2\,\vec{u}\cdot\vec{v} =5+1\pm2\sqrt5\cdot1\cdot\cos\bigl(\tfrac{\pi}{4}\bigr) =6\pm\sqrt{10}.

Passo 5

Logo
\|\vec{u}+\vec{v}\|\;\|\vec{u}-\vec{v}\| =\sqrt{6+\sqrt{10}}\;\sqrt{6-\sqrt{10}} =\sqrt{36-10} =\sqrt{26}.

Passo 6

Portanto
\cos\varphi = \frac{4}{\sqrt{26}} \quad\Longrightarrow\quad \varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{4}{\sqrt{26}}\bigr).

Resposta

\displaystyle \varphi = \operatorname{arccos}\!\bigl(\tfrac{4}{\sqrt{26}}\bigr).

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