A medida angular entre os vetores unitários \vec{u} e \vec{v} é 30^{\circ} e \vec{u} \times \vec{v} e ( 2,2,1 ) são de mesmo sentido. Determine a tripla de coordenadas de \vec{u} \times \vec{v}.

Passo 1

O enunciado diz que \vec{u} e \vec{v} são vetores unitários com ângulo de 30^\circ entre eles. Logo, pela definição de produto vetorial,
\|\vec{u}\times\vec{v}\| = \|\vec{u}\|\;\|\vec{v}\|\;\sin(30^\circ) = 1\cdot1\cdot\frac12 = \frac12.
Além disso, \vec{u}\times\vec{v} é paralelo ao vetor (2,2,1) e tem o mesmo sentido.

Passo 2

Se um vetor \vec{w} é paralelo a (2,2,1) e tem magnitude \tfrac12, então \vec{w} = \alpha\,(2,2,1) com \alpha>0 tal que
\|\vec{w}\| = |\alpha|\;\sqrt{2^2+2^2+1^2} = \alpha\cdot3 = \frac12.

Passo 3

Resolvendo \alpha\cdot3=\tfrac12 obtém-se \alpha=\tfrac16. Portanto
\vec{u}\times\vec{v} = \frac16\,(2,2,1) = \bigl(\tfrac13,\tfrac13,\tfrac16\bigr).

Resposta

\displaystyle \vec{u}\times\vec{v} = \bigl(\tfrac13,\tfrac13,\tfrac16\bigr)

Exercícios relacionados