Seja H um subgrupo do grupo G. Dados x, y \in G, prove que as classes laterais à esquerda x H e y H são iguais ou disjuntas. O mesmo vale para classes laterais à direita.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, em um grupo G com subgrupo H, dadas duas classes laterais à esquerda xH e yH (com x,y\in G), temos ou
xH = yH
ou
xH\cap yH = \emptyset.
O conteúdo usado será a definição de classe lateral e as propriedades de subgrupo (fechamento, identidade e inverso).

Passo 2

Suponha que as duas classes laterais à esquerda tenham interseção não vazia, ou seja,
xH\cap yH \neq \emptyset.
Então existe um elemento
z\in xH\cap yH
de modo que
z = xh_{1} = yh_{2}
para certos h_{1},h_{2}\in H. A partir daí, escrevemos
x = yh_{2}h_{1}^{-1}.
Como H é subgrupo, temos h_{2}h_{1}^{-1}\in H. Logo x\in yH, o que implica
xH \subseteq yH.
Fazendo o mesmo raciocínio trocando x com y, obtemos
yH \subseteq xH,
e portanto
xH = yH.

Passo 3

Se as classes não têm interseção, isto é,
xH\cap yH = \emptyset,
então por definição elas são disjuntas.

Passo 4

O mesmo argumento vale para classes laterais à direita. Basta substituir em cada passo o produto xH por Hx e usar que H é subgrupo para garantir que, se Hx\cap Hy\neq\emptyset, então Hx=Hy.

Resposta

Para quaisquer x,y\in G, ou
xH = yH
ou
xH \cap yH = \emptyset,
e análogamente para as classes laterais à direita.

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