Seja
um subgrupo do grupo
. Dados
, prove que as classes laterais à esquerda
e
são iguais ou disjuntas. O mesmo vale para classes laterais à direita.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, em um grupo
com subgrupo
, dadas duas classes laterais à esquerda
e
(com
), temos ou
ou
O conteúdo usado será a definição de classe lateral e as propriedades de subgrupo (fechamento, identidade e inverso).
Passo 2
Suponha que as duas classes laterais à esquerda tenham interseção não vazia, ou seja,
Então existe um elemento
de modo que
para certos
. A partir daí, escrevemos
Como
é subgrupo, temos
. Logo
, o que implica
Fazendo o mesmo raciocínio trocando
com
, obtemos
e portanto
Passo 3
Se as classes não têm interseção, isto é,
então por definição elas são disjuntas.
Passo 4
O mesmo argumento vale para classes laterais à direita. Basta substituir em cada passo o produto
por
e usar que
é subgrupo para garantir que, se
, então
.
Resposta
Para quaisquer
, ou
ou
e análogamente para as classes laterais à direita.