Calcule a distância do ponto P ao plano alpha determinado pelos pontos A, B e C nos seguintes casos:
P=(1,1,1), A(0,0,2), B(0,4,0) e C(2,0,0).

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto P=(1,1,1) e os pontos A=(0,0,2), B=(0,4,0), C=(2,0,0) que definem o plano alpha. O conteúdo é distância de um ponto a um plano, e vamos usar a fórmula
d(P,alpha) = l|ncdot (P - A)r||n|,
onde n é um vetor normal ao plano.

Passo 2

Calcular vetores que ficam no plano:
u = B - A, v = C - A
Para A(0,0,2), B(0,4,0), C(2,0,0) obtemos
u = (0,4,-2), v = (2,0,-2)

Passo 3

Determinar o vetor normal ao plano como
n = u times v
O cálculo do produto vetorial dá
n = (0,4,-2)times(2,0,-2) = (-8,-4,-8)
Podemos simplificar tomando n = (2,1,2), que aponta na mesma direção.

Passo 4

Aplicar a fórmula da distância. Primeiro, calcular P - A = (1,1,1) - (0,0,2) = (1,1,-1). Então
ncdot (P-A) = (2,1,2)cdot(1,1,-1) = 2 + 1 - 2 = 1,
e
|n| = raiz2^2 + 1^2 + 2^2 = 3
Logo,
d = |1|3 = 13

Resposta

13

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