Mostre que cada um dos conjuntos dados é uma reta.
|z+3-i|=|z-4 i|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto
,zinCmid |z+3-i| = |z-4i|,
é uma reta. O conteúdo aqui é geometria analítica no plano complexo, usando a definição de módulo para passar a uma equação em x e y.

Passo 2

Seja z = x + yi com x,yinR. Então
|z+3-i| = raiz(x+3)^2 + (y-1)^2,
|z-4i| = raizx^2 + (y-4)^2
A condição |z+3-i|=|z-4i| vira
raiz(x+3)^2 + (y-1)^2 ;=;raizx^2 + (y-4)^2

Passo 3

Elevando ao quadrado e expandindo:
(x+3)^2 + (y-1)^2 = x^2 + (y-4)^2
x^2 + 6x + 9 + y^2 - 2y + 1 = x^2 + y^2 - 8y + 16
Cancelando x^2 e y^2 e reorganizando, obtemos
6x + 10 - 2y = -8y + 16 ;Longrightarrow; 6x + 6y = 6

Passo 4

Dividindo ambos os lados por 6, chega-se à equação
x + y = 1,
que de fato é a equação de uma reta no plano (x,y). Portanto o conjunto dado é essa reta.

Resposta

x + y = 1.

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