Mostre que cada um dos conjuntos dados é uma reta.
|z-2|=|z-3 i|

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que o conjunto dos zinC tais que lvert z-2rvert=lvert z-3irvert é uma reta no plano complexo. Vamos usar geometria analítica: escrevemos z=x+iy e traduzimos a condição de distâncias iguais numap equação em x,y.

Passo 2

Seja z=x+iy. Então
lvert z-2rvert = raiz(x-2)^2 + y^2,
lvert z-3irvert = raizx^2 + (y-3)^2
A condição lvert z-2rvert=lvert z-3irvert equivale a igualar os quadrados dessas distâncias:
(x-2)^2 + y^2 ;=; x^2 + (y-3)^2

Passo 3

Expandindo e simplificando:
x^2 -4x +4 + y^2 = x^2 + y^2 -6y +9
cancelam-se x^2 e y^2, ficando
-4x +4 = -6y +9 Longrightarrow 4x -6y +5 = 0

Passo 4

A equação
4x - 6y + 5 = 0
é exatamente a equação de uma reta no plano xy. Como Re(z)=x e Im(z)=y, o conjunto é a reta de equação
4,Re(z) ;-;6,Im(z);+;5 ;=;0

Resposta

A reta dada por 4Re(z)-6Im(z)+5=0.\newline

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