Mostre que
e
são vértices de um triângulo retângulo. Em qual dos vértices está o ângulo reto?
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três pontos no espaço:
,
e
. Queremos mostrar que esses pontos formam um triângulo retângulo e descobrir em qual vértice está o ângulo reto. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de distância no espaço tridimensional e o Teorema de Pitágoras, que nos ajuda a identificar triângulos retângulos.
Passo 2
Vamos começar calculando a distância entre cada par de pontos usando a fórmula de distância no espaço 3D:
Primeiro, calculamos a distância entre
e
:
Passo 3
Agora, vamos calcular a distância entre
e
:
Passo 4
Em seguida, calculamos a distância entre
e
:
Passo 5
Agora que temos as três distâncias, vamos verificar se elas satisfazem o Teorema de Pitágoras, que afirma que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Vamos verificar todas as combinações:
- Somando os quadrados de
e :
Comparando com
, vemos que
.
- Somando os quadrados de
e :
Comparando com
, vemos que
.
- Somando os quadrados de
e :
Comparando com
, vemos que
.
Passo 6
Nenhuma das combinações de distâncias satisfaz o Teorema de Pitágoras. Portanto, com base nos cálculos, os pontos
,
e
não formam um triângulo retângulo.
Resposta
Os pontos
,
e
não formam um triângulo retângulo.