Mostre que A=(3,0,2), B=(4,3,0) e C=(8,1,1) são vértices de um triângulo retângulo. Em qual dos vértices está o ângulo reto?

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos três pontos no espaço: A = (3, 0, 2) , B = (4, 3, 0) e C = (8, 1, 1) . Queremos mostrar que esses pontos formam um triângulo retângulo e descobrir em qual vértice está o ângulo reto. Para resolver isso, vamos precisar usar a fórmula de distância no espaço tridimensional e o Teorema de Pitágoras, que nos ajuda a identificar triângulos retângulos.

Passo 2

Vamos começar calculando a distância entre cada par de pontos usando a fórmula de distância no espaço 3D:
d = raiz(x2 - x1)^2 + (y2 - y1)^2 + (z2 - z1)^2
Primeiro, calculamos a distância entre A e B :
AB = raiz(4 - 3)^2 + (3 - 0)^2 + (0 - 2)^2 = raiz1 + 9 + 4 = raiz14

Passo 3

Agora, vamos calcular a distância entre A e C :
AC = raiz(8 - 3)^2 + (1 - 0)^2 + (1 - 2)^2 = raiz25 + 1 + 1 = raiz27

Passo 4

Em seguida, calculamos a distância entre B e C :
BC = raiz(8 - 4)^2 + (1 - 3)^2 + (1 - 0)^2 = raiz16 + 4 + 1 = raiz21

Passo 5

Agora que temos as três distâncias, vamos verificar se elas satisfazem o Teorema de Pitágoras, que afirma que em um triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos.
Vamos verificar todas as combinações:
  1. Somando os quadrados de AB e BC :
AB^2 + BC^2 = 14 + 21 = 35
Comparando com AC^2 = 27 , vemos que 35 neq 27 .
  1. Somando os quadrados de AB e AC :
AB^2 + AC^2 = 14 + 27 = 41
Comparando com BC^2 = 21 , vemos que 41 neq 21 .
  1. Somando os quadrados de AC e BC :
AC^2 + BC^2 = 27 + 21 = 48
Comparando com AB^2 = 14 , vemos que 48 neq 14 .

Passo 6

Nenhuma das combinações de distâncias satisfaz o Teorema de Pitágoras. Portanto, com base nos cálculos, os pontos A , B e C não formam um triângulo retângulo.

Resposta

Os pontos A = (3, 0, 2) , B = (4, 3, 0) e C = (8, 1, 1) não formam um triângulo retângulo.

Exercícios relacionados