Calcule a distância do ponto P(2,4,1) ao plano \alpha: x+5 y+3 z-13=0.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P(2,4,1) ao plano \alpha: x + 5y + 3z - 13 = 0. Vamos usar a fórmula de distância de um ponto a um plano em \mathbb{R}^3:
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.

Passo 2

Identificamos os coeficientes do plano \alpha:
A = 1,\quad B = 5,\quad C = 3,\quad D = -13.

Passo 3

Substituímos as coordenadas de P(2,4,1) no numerador da fórmula:
|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D| = |1\cdot 2 + 5\cdot 4 + 3\cdot 1 - 13| = |2 + 20 + 3 - 13| = |12| = 12.

Passo 4

Calculamos o denominador como a norma do vetor normal (A,B,C):
\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{1^2 + 5^2 + 3^2} = \sqrt{1 + 25 + 9} = \sqrt{35}.

Passo 5

Logo, a distância procurada é
d = \frac{12}{\sqrt{35}},
que, se quisermos racionalizar o denominador, pode ser escrita como \frac{12\sqrt{35}}{35}.

Resposta

A distância do ponto P(2,4,1) ao plano \alpha é \displaystyle \frac{12}{\sqrt{35}}.

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