Calcule a distância do ponto P(1,2,-1) à reta r: x=1+2 t, y=5-2 t, z=-2+ 3t.

Passo 1

A questão pede a distância de um ponto P(1,2,-1) a uma reta r em \mathbb{R}^3. O método padrão usa o vetor diretor \mathbf{v} da reta, um ponto A sobre ela e o vetor \overrightarrow{AP}. A fórmula é
d = \frac{\bigl\|\overrightarrow{AP}\times \mathbf{v}\bigr\|}{\|\mathbf{v}\|}.

Passo 2

Identificamos um ponto A na reta e o vetor diretor \mathbf{v}. A reta está dada por
x=1+2t,\quad y=5-2t,\quad z=-2+3t,
então podemos tomar
A=(1,5,-2),\qquad \mathbf{v}=(2,-2,3).
O vetor de A até P é
\overrightarrow{AP}=P-A=(1-1,\;2-5,\;-1-(-2))=(0,-3,1).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial \overrightarrow{AP}\times \mathbf{v} e suas normas:
\overrightarrow{AP}\times \mathbf{v} =\begin{vmatrix} \mathbf{i}&\mathbf{j}&\mathbf{k}\\\\ 0&-3&1\\\\ 2&-2&3 \end{vmatrix} =(-7,2,6).
Logo
\bigl\|\overrightarrow{AP}\times \mathbf{v}\bigr\| =\sqrt{(-7)^2+2^2+6^2} =\sqrt{49+4+36} =\sqrt{89},
e
\|\mathbf{v}\| =\sqrt{2^2+(-2)^2+3^2} =\sqrt{4+4+9} =\sqrt{17}.

Passo 4

Aplicando a fórmula da distância, obtemos
d =\frac{\sqrt{89}}{\sqrt{17}} =\sqrt{\frac{89}{17}}.

Resposta

\displaystyle \sqrt{\frac{89}{17}}

Exercícios relacionados