Determine a posição relativa das retas r: x=3+t, y=2-t, z=1+4 t e s: x=2 +\mathrm{s}, \mathrm{y}=-3+2 \mathrm{~s}, \mathrm{z}=1+2 \mathrm{~s} e, se forem concorrentes, o ponto de interseção.

Passo 1

Temos duas retas em \mathbb{R}^3 dadas por
r:\;x=3+t,\quad y=2-t,\quad z=1+4t
s:\;x=2+s,\quad y=-3+2s,\quad z=1+2s
O objetivo é determinar se elas são paralelas, concorrentes (intersectam‐se), coincidentes ou reversas. Vamos usar vetores diretores e resolver o sistema paramétrico para ver se há interseção.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores de cada reta:
o vetor diretor de r é
\mathbf{d}_r = (1,\,-1,\,4)
e o vetor diretor de s é
\mathbf{d}_s = (1,\,2,\,2).
Para que fossem paralelas ou coincidentes, deveríamos ter \mathbf{d}_r = \lambda\,\mathbf{d}_s para algum \lambda. Como não existe \lambda que satisfaça simultaneamente
1 = \lambda\cdot1,\quad -1 = \lambda\cdot2,\quad 4 = \lambda\cdot2,
concluímos que as retas não são paralelas.

Passo 3

Para verificar se se intersectam, igualamos as coordenadas de r\) e \(s\), gerando o sistema \[\begin{cases} 3 + t = 2 + s,\\\\ 2 - t = -3 + 2s,\\\\ 1 + 4t = 1 + 2s. \end{cases}
Da primeira equação vem
t = s - 1.
Substituindo em 1 + 4t = 1 + 2s\] obtemos \[1 + 4(s-1) = 1 + 2s \;\Longrightarrow\; 4s - 4 = 2s \;\Longrightarrow\; 2s = 4 \;\Longrightarrow\; s = 2,\] logo \(t = 2 - 1 = 1. Verificamos na segunda equação:
2 - 1 \stackrel{?}{=} -3 + 2\cdot2 \quad\Longrightarrow\quad 1 = -3 + 4 = 1,
que é satisfeito. Há, portanto, solução comum.

Passo 4

Como t=1 e s=2, o ponto de interseção é dado por qualquer das parametrações; usando r:
P = (3+1,\;2-1,\;1+4\cdot1) = (4,\,1,\,5).
Logo as retas se intersectam exatamente em P=(4,1,5).

Resposta

As retas são concorrentes e o ponto de interseção é (4,1,5).

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