Determine a distância entre as retas reversas r: x=2+t, y=1-3 t, z=1+2 t e \mathrm{s}: \mathrm{x}=-5+4 \mathrm{t}, \mathrm{y}=6-5 \mathrm{t}, \mathrm{z}=4+3 \mathrm{t}.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre duas retas reversas r e s no espaço. O conteúdo necessário é a fórmula da distância entre retas reversas, que usa produto vetorial e produto escalar:
d = \frac{\bigl|(P_0 - Q_0)\cdot (u\times v)\bigr|}{\|u\times v\|},
onde u e v são vetores diretores de r e s, e P_0, Q_0 pontos quaisquer em r e s.

Passo 2

Identificamos um vetor diretor e um ponto em cada reta:
– Para r\colon x=2+t,\;y=1-3t,\;z=1+2t, escolhemos
u = (1,\,-3,\,2),\quad P_0=(2,1,1).
– Para s\colon x=-5+4t,\;y=6-5t,\;z=4+3t, escolhemos
v = (4,\,-5,\,3),\quad Q_0=(-5,6,4).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial u\times v:
u\times v = \bigl((-3)\cdot3 - 2\cdot(-5),\;2\cdot4 - 1\cdot3,\;1\cdot(-5) - (-3)\cdot4\bigr) = (1,\,5,\,7).

Passo 4

Formamos o vetor que liga Q_0 a P_0:
P_0 - Q_0 = (2 - (-5),\,1 - 6,\,1 - 4) = (7,\,-5,\,-3).

Passo 5

Calculamos o produto escalar e o módulo:
(P_0 - Q_0)\cdot(u\times v) = 7\cdot1 + (-5)\cdot5 + (-3)\cdot7 = -39,
\|u\times v\| = \sqrt{1^2 + 5^2 + 7^2} = \sqrt{75} = 5\sqrt{3}.

Passo 6

Aplicando a fórmula da distância:
d = \frac{\bigl|{-39}\bigr|}{5\sqrt{3}} = \frac{39}{5\sqrt{3}} = \frac{13\sqrt{3}}{5}.

Resposta

A distância entre as retas é \displaystyle \frac{13\sqrt{3}}{5}.

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