Determine a posição relativa das retas r: x=1+2 t, y=-1+t, z=5-3 t e s: x= 4 \mathrm{~s}, y=2+2 \mathrm{~s}, z=8-6 \mathrm{~s}.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a posição relativa das retas r:\;x=1+2t,\;y=-1+t,\;z=5-3t
e s:\;x=4s,\;y=2+2s,\;z=8-6s.
Em \mathbb{R}^3, duas retas podem ser coincidentes, paralelas distintas, concorrentes (intersectantes) ou reversas. Para decidir entre esses casos, primeiro comparamos os vetores diretores e depois, se forem colineares, verificamos se um ponto de uma reta pertence à outra.

Passo 2

Extraímos os vetores diretores: \vec d_r=(2,1,-3) e \vec d_s=(4,2,-6).
Observamos que
\vec d_s=2\,(2,1,-3)=2\,\vec d_r,
logo \vec d_r e \vec d_s são colineares. Isso significa que as retas são paralelas (ou possivelmente coincidentes).

Passo 3

Para decidir entre paralelas distintas ou coincidentes, checamos se um ponto de r está em s. Tomemos t=0 em r, obtendo o ponto
P=(1,-1,5).
Procuramos s_0 tal que
(4s_0,\;2+2s_0,\;8-6s_0)=(1,-1,5).
Da primeira coordenada vem 4s_0=1\implies s_0=\tfrac14.
Mas então a segunda coordenada seria 2+2\cdot\tfrac14=2{,}5\neq -1.
Logo P não pertence a s, e as retas não coincidem.

Resposta

As retas são paralelas e distintas.

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