Determine a posição relativa entre os planos
pi1: 2 x-y+z=0 pi2: X=(1,2,-3)+lambda(1,-2,0)+t(0,0,2), lambda, t in R

Passo 1

O enunciado dá dois planos:
pi1:2x - y + z = 0 e
pi2 descrito parametricamente por
X = (1,2,-3) + lambda,(1,-2,0) + t,(0,0,2), lambda,tinR
Queremos saber se eles são paralelos (ou coincidentes) ou se se intersectam. Para isso vamos usar o conceito de vetor normal: dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais são colineares; se não forem, eles se cruzam ao longo de uma reta.

Passo 2

Extraímos o vetor normal de pi1 diretamente dos coeficientes da equação 2x - y + z = 0. Logo,
n1 = (2,,-1,,1)

Passo 3

Em pi2, os vetores diretores são
v1 = (1,-2,0) e v2 = (0,0,2).
O vetor normal a pi2 é dado pelo produto vetorial
n2 ;=; v1 times v2 ;=;(1,-2,0)times(0,0,2) ;=;(-4,,-2,,0)

Passo 4

Agora verificamos se n1 e n2 são colineares, ou seja, se existe escalar k tal que n1 = k,n2.
Pela primeira componente teríamos 2 = kcdot(-4)Rightarrow k=-tfrac12, mas então a segunda componente exigiria -1 = kcdot(-2)Rightarrow -1= (-tfrac12)cdot(-2)=1, o que é absurdo. Logo, não há tal k.

Passo 5

Como n1 e n2 não são colineares, os planos não são paralelos. Portanto eles se intersectam ao longo de uma reta.

Resposta

Os planos pi1 e pi2 se intersectam (não são paralelos).

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