Determine a posição relativa entre os planos
Passo 1
O enunciado dá dois planos:
e
descrito parametricamente por
Queremos saber se eles são paralelos (ou coincidentes) ou se se intersectam. Para isso vamos usar o conceito de vetor normal: dois planos são paralelos se, e somente se, seus vetores normais são colineares; se não forem, eles se cruzam ao longo de uma reta.
Passo 2
Extraímos o vetor normal de
diretamente dos coeficientes da equação
. Logo,
Passo 3
Em
, os vetores diretores são
e
.
O vetor normal a é dado pelo produto vetorial
O vetor normal a
Passo 4
Agora verificamos se
e
são colineares, ou seja, se existe escalar
tal que
.
Pela primeira componente teríamos , mas então a segunda componente exigiria
, o que é absurdo. Logo, não há tal
.
Pela primeira componente teríamos
Passo 5
Como
e
não são colineares, os planos não são paralelos. Portanto eles se intersectam ao longo de uma reta.
Resposta
Os planos
e
se intersectam (não são paralelos).