Calcule a distância do ponto P=(0,2,-1) ao plano \pi: 3 x-y+z+4=0.

Passo 1

O enunciado nos dá o ponto P=(0,2,-1) e o plano \pi:3x - y + z + 4 = 0. O conteúdo aqui é a fórmula de distância de um ponto a um plano no espaço.

Passo 2

Anotamos os coeficientes do plano: A=3, B=-1, C=1, D=4, e as coordenadas do ponto P são (x_0,y_0,z_0)=(0,2,-1). A fórmula de distância é
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.

Passo 3

Substituindo os valores, o numerador fica
\bigl|3\cdot 0 + (-1)\cdot 2 + 1\cdot(-1) + 4\bigr| = |0 - 2 - 1 + 4| = |1| = 1.

Passo 4

O denominador é
\sqrt{3^2 + (-1)^2 + 1^2} = \sqrt{9 + 1 + 1} = \sqrt{11}.
Logo,
d = \frac{1}{\sqrt{11}}.

Resposta

\frac{1}{\sqrt{11}}

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