Seja a reta r:(x, y, z)=(0,1,2)+t(1,0,-1). Determine a equação vetorial da reta s que passa pela origem e é perpendicular a r.

Passo 1

O enunciado dá a reta
r: (x,y,z) = (0,1,2) + t\,(1,0,-1)
e pede a equação vetorial da reta s que passa pela origem e é perpendicular a r. Para isso, vamos usar o fato de que a única reta por um ponto externo (a origem) que é perpendicular a r é a reta que une esse ponto ao pé da perpendicular de r. Em outras palavras, primeiro encontramos o ponto P em r tal que o vetor \overrightarrow{OP} seja ortogonal ao vetor diretor de r.

Passo 2

Identificamos o vetor diretor de r. Como
r: (x,y,z)=(0,1,2)+t\,(1,0,-1),
o vetor diretor é
\mathbf{v} = (1,0,-1).

Passo 3

Seja P o ponto em r correspondente a t=t_0, ou seja,
P = (0,1,2) + t_0\,(1,0,-1) = (\,t_0,\;1,\;2 - t_0\,).
Para que \overrightarrow{OP} seja perpendicular a \mathbf{v}, precisamos
\overrightarrow{OP}\cdot\mathbf{v} = 0.
Escrevendo \overrightarrow{OP} = (t_0,1,2-t_0) e \mathbf{v}=(1,0,-1), temos
(t_0,1,2-t_0)\cdot(1,0,-1) = t_0 + 0 - (2 - t_0) = 2\,t_0 - 2 = 0 \;\Longrightarrow\; t_0 = 1.
Logo
P = (1,\,1,\,2-1) = (1,1,1).

Passo 4

A reta s passa pela origem O=(0,0,0) e por P=(1,1,1). Seu vetor diretor pode ser escolhido como \overrightarrow{OP}=(1,1,1). Assim, a equação vetorial de s é
s:\;(x,y,z) = (0,0,0) + u\,(1,1,1).

Resposta

\boxed{s:\;(x,y,z) = u\,(1,1,1).}

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