Determine a equação do plano que contém a reta r:(x, y, z)=(1,-2,3)+t(2,1,-1) e é perpendicular ao plano \pi: \mathrm{x}-\mathrm{y}+\mathrm{z}=1.

Passo 1

O enunciado pede a equação do plano \Sigma que contém a reta
r: (x,y,z) = (1,-2,3) + t\,(2,1,-1)
e é perpendicular ao plano
\pi: x - y + z = 1.
Conteúdo: geometria analítica em \mathbb{R}^3. Para resolver, vamos usar que um plano é perpendicular a outro quando seus vetores normais são perpendiculares, e que o vetor direção da reta pertence ao plano, logo o vetor normal de \Sigma deve ser ortogonal a esse vetor direção.

Passo 2

Identificamos os vetores:
– ponto P_0=(1,-2,3) na reta;
– vetor direção da reta
\mathbf{u} = (2,1,-1);
– vetor normal do plano \pi
\mathbf{n}_\pi = (1,-1,1).
O vetor normal \mathbf{n} de \Sigma deve satisfazer
\mathbf{u}\cdot \mathbf{n} = 0 \quad\text{e}\quad \mathbf{n}_\pi\cdot \mathbf{n} = 0.

Passo 3

Calculamos \mathbf{n} como produto vetorial de \mathbf{u} e \mathbf{n}_\pi:
\mathbf{n} = \mathbf{u} \times \mathbf{n}_\pi = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ 2 & 1 & -1\\\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (0,\,-3,\,-3).
Podemos simplificar para
\mathbf{n} = (0,1,1),
que de fato satisfaz \mathbf{u}\cdot\mathbf{n}=0 e \mathbf{n}_\pi\cdot\mathbf{n}=0.

Passo 4

Usando \mathbf{n}=(0,1,1) e o ponto P_0=(1,-2,3), a equação de \Sigma é
0\,(x-1) + 1\,(y+2) + 1\,(z-3) = 0 \quad\Longrightarrow\quad y + z - 1 = 0.

Resposta

y + z = 1

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