Encontre a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(1,2,0), B=(0,1,1) e C=(2,0,-1).

Passo 1

O enunciado pede a equação geral do plano que passa pelos pontos A=(1,2,0), B=(0,1,1) e C=(2,0,-1). Vamos usar vetores diretores e o produto vetorial para encontrar um vetor normal ao plano e, em seguida, escrever a forma ponto-normal do plano.

Passo 2

Calculamos os vetores diretores a partir de A:
\overrightarrow{AB} = B - A = (0-1,\;1-2,\;1-0) = (-1,-1,1),
\overrightarrow{AC} = C - A = (2-1,\;0-2,\;-1-0) = (1,-2,-1).

Passo 3

O vetor normal \mathbf{n} do plano é dado pelo produto vetorial \overrightarrow{AB}\times\overrightarrow{AC}. Calculamos
\mathbf{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ -1 & -1 & 1 \\\\ 1 & -2 & -1 \end{vmatrix} = \mathbf{i}\bigl((-1)(-1)-1\cdot(-2)\bigr) - \mathbf{j}\bigl((-1)(-1)-1\cdot1\bigr) + \mathbf{k}\bigl((-1)(-2)-(-1)\cdot1\bigr).
Isso dá
\mathbf{n} = \mathbf{i}(1+2) - \mathbf{j}(1-1) + \mathbf{k}(2+1) = (3,0,3).

Passo 4

Usamos a forma ponto-normal do plano:
\mathbf{n}\cdot\bigl((x,y,z)-A\bigr)=0.
Substituindo \mathbf{n}=(3,0,3) e A=(1,2,0):
(3,0,3)\cdot(x-1,\;y-2,\;z-0)=0 \quad\Longrightarrow\quad 3(x-1)+0\,(y-2)+3z=0.

Passo 5

Simplificando a equação:
3x-3+3z=0 \quad\Longrightarrow\quad x+z-1=0.

Resposta

x + z - 1 = 0

Exercícios relacionados