Verifique a posição relativa entre as retas r e s. São paralelas, concorrentes ou reversas? r:(x, y, z)=(1,0,2)+t(1,-1,2)
s: x=2 t, y=1-t, z=2+4 t
Passo 1
O enunciado dá duas retas em \mathbb{R}^3:
a reta r em forma vetorial
r:\,(x,y,z) = (1,0,2) + t\,(1,-1,2),
e a reta s em forma paramétrica
s:\;x=2\mu,\quad y=1-\mu,\quad z=2+4\mu.
O conteúdo aqui é posição relativa de retas no espaço. Para decidir se são paralelas, concorrentes (se cruzam) ou reversas (skew), vamos (1) extrair os vetores diretores e verificar se são proporcionais e, se não forem, (2) checar se há solução comum ao sistema que iguala os pontos das duas retas.
Passo 2
Identificamos os vetores diretores e um ponto em cada reta:
– Para r, ponto P_r=(1,0,2) e vetor diretor \vec d_r=(1,-1,2).
– Para s, ponto P_s=(0,1,2) (tomando \mu=0) e vetor diretor \vec d_s=(2,-1,4).
Testamos se \vec d_r e \vec d_s são proporcionais, isto é, se existe \lambda tal que
(2,-1,4)=\lambda\,(1,-1,2).
Comparando componentes, da primeira vem \lambda=2, mas então a segunda componente daria -1=2\cdot(-1)=-2, o que é falso. Logo não são paralelas.
Passo 3
Como não são paralelas, podemos tentar achar ponto de interseção resolvendo
Da primeira eq. t=2\mu-1. Da segunda t=\mu-1. Igualando essas duas expressões de t vem 2\mu-1=\mu-1\implies\mu=0 e então t=-1. Mas a terceira eq. exige
2+2(-1)=0\quad\text{e}\quad2+4\cdot0=2,
e 0\neq2. Não há solução comum, logo não se intersectam.
Passo 4
Concluímos que as retas não são paralelas (vetores diretores não proporcionais) e também não se chocam (sem ponto em comum). Portanto são retas reversas (skew).