Calcule a distância entre o ponto P(0,0,0) e o plano x-2 y+2 z=5.

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o ponto P(0,0,0) e o plano dado pela equação x - 2y + 2z = 5.
Conteúdo: geometria analítica no espaço, especificamente a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Escrevemos a equação do plano na forma geral
x - 2y + 2z - 5 = 0
e identificamos os coeficientes do vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c) e o termo d:
a = 1, b = -2, c = 2, d = -5.

Passo 3

A fórmula da distância D de um ponto \bigl(x_0,y_0,z_0\bigr) ao plano ax+by+cz+d=0 é
D = \frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\bigr|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.

Passo 4

Substituindo \bigl(x_0,y_0,z_0\bigr)=(0,0,0) e os valores de a,b,c,d:
o numerador fica
\bigl|1\cdot0 + (-2)\cdot0 + 2\cdot0 + (-5)\bigr| = \bigl|-5\bigr| = 5,
e o denominador
\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3.

Passo 5

Logo, a distância é
D = \frac{5}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{5}{3}

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