Determine a menor distância entre o ponto P(3,-1,2) e o plano 2 x-y+2 z+4=0.

Passo 1

No enunciado, queremos encontrar a menor distância do ponto P(3,-1,2) ao plano 2x - y + 2z + 4 = 0. Esse problema envolve geometria analítica em \mathbb R^3 e a fórmula da distância de um ponto a um plano.

Passo 2

Para aplicar a fórmula, identificamos os coeficientes do plano:
A = 2, \quad B = -1, \quad C = 2, \quad D = 4,
e as coordenadas do ponto P = (x_0,y_0,z_0) = (3,-1,2). A fórmula da distância é
d = \frac{\bigl|A\,x_0 + B\,y_0 + C\,z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.

Passo 3

Calculamos o numerador e o denominador separadamente. O numerador é
2\cdot 3 + (-1)\cdot(-1) + 2\cdot 2 + 4 = 6 + 1 + 4 + 4 = 15,
logo \lvert 15\rvert = 15. O denominador é
\sqrt{2^2 + (-1)^2 + 2^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = \sqrt{9} = 3.
Substituindo, obtemos
d = \frac{15}{3} = 5.

Resposta

A menor distância é 5.

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