Calcule a distância do ponto P(1,2,3) à reta que passa por A(0,0,0) e tem vetor diretor \vec{v}=(1,1,1).

Passo 1

O enunciado nos pede a distância do ponto P(1,2,3) até a reta que passa por A(0,0,0) e tem vetor diretor \vec v=(1,1,1). Esse cálculo usa a fórmula da distância ponto-reta em \mathbb{R}^3:
d = \frac{\|\vec{AP}\times \vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}.

Passo 2

Calculamos o vetor \vec{AP} que vai de A a P:
\vec{AP} = P - A = (1-0,\;2-0,\;3-0) = (1,2,3).

Passo 3

Encontramos o produto vetorial \vec{AP}\times \vec{v} usando o determinante:
\vec{AP}\times \vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & 1 & 1 \end{vmatrix} = (-1,\,2,\,-1).

Passo 4

Calculamos as normas necessárias:
\|\vec{AP}\times \vec{v}\| = \sqrt{(-1)^2 + 2^2 + (-1)^2} = \sqrt{6},
\|\vec{v}\| = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.

Passo 5

Substituindo na fórmula da distância, obtemos:
d = \frac{\sqrt{6}}{\sqrt{3}} = \sqrt{2}.

Resposta

A distância procurada é \sqrt{2}.

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