Encontre a distância entre o ponto P(-1,4,2) e o plano x+2 y+2 z-10=0.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P(-1,4,2) a um plano, cujo equação é
x + 2y + 2z - 10 = 0.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da distância de um ponto (x_0,y_0,z_0) ao plano Ax + By + Cz + D = 0, que é
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}}.

Passo 2

Da equação do plano x + 2y + 2z - 10 = 0 extraímos
A = 1,\quad B = 2,\quad C = 2,\quad D = -10,
e o ponto dado é (x_0,y_0,z_0)=(-1,4,2).

Passo 3

Calculamos o numerador da fórmula:
A x_0 + B y_0 + C z_0 + D = 1\cdot(-1) + 2\cdot 4 + 2\cdot 2 + (-10) = -1 + 8 + 4 -10 = 1.
A distância usa o valor absoluto, então o numerador fica \lvert 1\rvert = 1.

Passo 4

Calculamos o denominador da fórmula:
\sqrt{A^2 + B^2 + C^2} = \sqrt{1^2 + 2^2 + 2^2} = \sqrt{1 + 4 + 4} = \sqrt{9} = 3.

Passo 5

Substituindo na fórmula, obtemos
d = \frac{1}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{3}

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