Encontre a distância entre o ponto P(1,2,3) e o plano \pi: x+y+z-6=0.

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto P(1,2,3) ao plano \pi: x+y+z-6=0. Vamos usar a fórmula da distância de um ponto a um plano, que é
d(P,\pi) = \frac{\bigl|a x_0 + b y_0 + c z_0 + d\bigr|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}.

Passo 2

Identificamos na equação \pi: x+y+z-6=0 os coeficientes a=1, b=1, c=1 e d=-6. Calculamos
a x_0 + b y_0 + c z_0 + d = 1\cdot1 + 1\cdot2 + 1\cdot3 +(-6) = 1+2+3-6 = 0.

Passo 3

Calculamos o módulo do vetor normal \mathbf{n}=(a,b,c)=(1,1,1):
\sqrt{a^2 + b^2 + c^2} = \sqrt{1^2 + 1^2 + 1^2} = \sqrt{3}.

Passo 4

Substituindo na fórmula da distância:
d(P,\pi) = \frac{\bigl|0\bigr|}{\sqrt{3}} = 0.

Resposta

A distância entre P e \pi é 0.

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