Calcule o volume do tetraedro com vértices A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0), D(0,0,1).

Passo 1

O enunciado pede o volume do tetraedro com vértices A(0,0,0), B(1,0,0), C(0,1,0) e D(0,0,1). O conteúdo aqui é o cálculo de volume de um tetraedro usando o produto misto (ou determinante).

Passo 2

Escolhemos como vetores de aresta partindo de A:
\vec{AB} = (1,0,0),\quad \vec{AC} = (0,1,0),\quad \vec{AD} = (0,0,1).

Passo 3

O produto misto \vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD}) é igual ao determinante da matriz cujas colunas são esses vetores:
\det\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0\\\\ 0 & 1 & 0\\\\ 0 & 0 & 1 \end{pmatrix} = 1.

Passo 4

O volume de um tetraedro é um sexto do valor absoluto do produto misto, ou seja,
V = \frac{1}{6}\bigl|\vec{AB}\cdot(\vec{AC}\times\vec{AD})\bigr| = \frac{1}{6}\cdot 1 = \frac{1}{6}.

Resposta

\displaystyle \frac{1}{6}

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