Determine a distância entre o ponto P(4,-2,1) e a reta de equações paramétricas:
x=1+t, \quad y=2-t, \quad z=3 t

Passo 1

O enunciado pede a distância entre o ponto P(4,-2,1) e a reta dada por
x=1+t,\quad y=2-t,\quad z=3t.
O conteúdo que vamos usar é a fórmula da distância de um ponto a uma reta em \mathbb{R}^3, que se baseia no produto vetorial.

Passo 2

Escolhemos um ponto qualquer A da reta. Para t=0 temos
A = (1,\,2,\,0).
A direção da reta é o vetor
\vec v = (1,\,-1,\,3),
pois os coeficientes de t em (x,y,z) são (1,-1,3).

Passo 3

Formamos o vetor que vai de A até P:
\vec{AP} = P - A = (4-1,\;-2-2,\;1-0) = (3,\,-4,\,1).

Passo 4

Calculamos o produto vetorial \vec{AP}\times\vec{v} usando determinante:
\vec{AP}\times\vec{v} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\\\ 3 & -4 & 1 \\\\ 1 & -1 & 3 \end{vmatrix} = (-11,\,-8,\,1).

Passo 5

A norma do produto vetorial é
\big\|\vec{AP}\times\vec v\big\| = \sqrt{(-11)^2 + (-8)^2 + 1^2} = \sqrt{121 + 64 + 1} = \sqrt{186}.
A norma de \vec v é
\|\vec v\| = \sqrt{1^2 + (-1)^2 + 3^2} = \sqrt{11}.

Passo 6

Pela fórmula da distância,
d = \frac{\big\|\vec{AP}\times\vec v\big\|}{\|\vec v\|} = \frac{\sqrt{186}}{\sqrt{11}} = \sqrt{\frac{186}{11}}.

Resposta

\displaystyle \sqrt{\frac{186}{11}}

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