A reta r tem equações x=2, y=3+t, z=-1+2 t. Calcule a distância entre o ponto P(0,0,0) e essa reta.

Passo 1

O enunciado dá a reta r por
x=2,\quad y=3+t,\quad z=-1+2t
e pede a distância do ponto P(0,0,0) a essa reta.
O conteúdo é geometria analítica no espaço, e vamos usar a fórmula que diz que a distância de um ponto a uma reta é
d = \frac{\bigl\lVert (\vec P - \vec P_{0}) \times \vec v \bigr\rVert}{\lVert \vec v\rVert},
onde \vec v é o vetor diretor da reta e \vec P_{0} é um ponto qualquer sobre ela.

Passo 2

Vamos extrair da forma paramétrica de r:
  • Um ponto na reta, tomando t=0, é P_{0} = (2,\,3,\,-1).
  • O vetor diretor é o coeficiente de t, ou seja \vec v = (0,\,1,\,2).
Formamos o vetor \vec u = \vec P - \vec P_{0} = (0,0,0) - (2,3,-1) = (-2,\,-3,\,1).

Passo 3

Calculamos o produto vetorial \vec u \times \vec v:
\vec u \times \vec v = \det\begin{pmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k}\\\\ -2 & -3 & 1\\\\ 0 & 1 & 2 \end{pmatrix} = (-3\cdot2 - 1\cdot1)\,\mathbf{i} -(-2\cdot2 - 1\cdot0)\,\mathbf{j} +(-2\cdot1 -(-3)\cdot0)\,\mathbf{k}
= -7\,\mathbf{i} + 4\,\mathbf{j} -2\,\mathbf{k}.
Seu módulo é
\bigl\lVert \vec u \times \vec v\bigr\rVert = \sqrt{(-7)^{2} + 4^{2} + (-2)^{2}} = \sqrt{49 + 16 + 4} = \sqrt{69}.

Passo 4

O módulo de \vec v é
\lVert \vec v\rVert = \sqrt{0^{2} + 1^{2} + 2^{2}} = \sqrt{5}.
Pela fórmula da distância,
d = \frac{\sqrt{69}}{\sqrt{5}} = \sqrt{\frac{69}{5}} = \frac{\sqrt{345}}{5}.

Resposta

\frac{\sqrt{345}}{5}

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