Calcule a distância do ponto P à reta r nos casos:
lx=2 z-1 y=z+1

Passo 1

O problema é calcular a distância de um ponto a uma reta no espaço euclidiano em ,o que envolve geometria analítica 3D e o uso de produto vetorial para obter essa distância.

Passo 2

Primeiro vamos reescrever a reta em forma paramétrica. Dado r: x = 2z − 1 e y = z + 1, tomamos parâmetro t = z, obtendo um ponto A na reta (para t=0) e o vetor diretor v:
A = (-1,1,0),
v = (2,1,1)

Passo 3

Em seguida calculamos o vetor que vai de A até o ponto P=(0,−1,0):
AP = P - A = (0-(-1),,-1-1,,0-0) = (1,-2,0)

Passo 4

Para distância de um ponto P a uma reta com vetor diretor v passando por A, usamos a fórmula
d = |v times AP||v|

Passo 5

Agora calculamos o produto vetorial:
v times AP = det i & j & k 2 & 1 & 1 1 & -2 & 0 = (2,1,1) times (1,-2,0) = (2,1,-5)
A norma desse vetor é
|v times AP| = raiz2^2 + 1^2 + (-5)^2 = raiz30

Passo 6

A norma do vetor diretor v é
|v| = raiz2^2 + 1^2 + 1^2 = raiz6
Substituindo na fórmula da distância:
d = raiz30raiz6 = raiz306 = raiz5

Resposta

raiz5

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