Verdadeiro ou Falso? Prove as afirmações verdadeiras e ache um contra-exemplo para as falsas:
Se
então
.
Se
Passo 1
O enunciado afirma que se
, então
. O conteúdo aqui é produto escalar de vetores e a ideia de vetores perpendiculares, e vamos usar a propriedade linear do produto escalar.
Passo 2
Se
, então podemos escrever
Pela linearidade do produto escalar em cada argumento, isso dá
Isso significa que o vetor
é perpendicular a
.
Passo 3
Só de saber que
é perpendicular a
não podemos concluir que
. Vetores diferentes podem ter produto escalar zero com o mesmo vetor, basta que a diferença esteja num plano (ou reta) perpendicular a
.
Passo 4
Vamos então dar um contraexemplo concreto. Tome
Então
mas
. Isso mostra que a afirmação é falsa.
Resposta
Falsa. Por exemplo, com
,
e
obtemos
mas
.