Verdadeiro ou Falso? Prove as afirmações verdadeiras e ache um contra-exemplo para as falsas:
Se u cdot v=u cdot w então v=w.

Passo 1

O enunciado afirma que se vec u cdot vec v = vec u cdot vec w, então vec v = vec w. O conteúdo aqui é produto escalar de vetores e a ideia de vetores perpendiculares, e vamos usar a propriedade linear do produto escalar.

Passo 2

Se vec u cdot vec v = vec u cdot vec w, então podemos escrever
vec u cdot vec v - vec u cdot vec w = 0
Pela linearidade do produto escalar em cada argumento, isso dá
vec u cdot (vec v - vec w) = 0
Isso significa que o vetor vec v - vec w é perpendicular a vec u.

Passo 3

Só de saber que vec v - vec w é perpendicular a vec u não podemos concluir que vec v - vec w = vec 0. Vetores diferentes podem ter produto escalar zero com o mesmo vetor, basta que a diferença esteja num plano (ou reta) perpendicular a vec u.

Passo 4

Vamos então dar um contraexemplo concreto. Tome
vec u = (1,0), vec v = (0,1), vec w = (0,-1)
Então
vec u cdot vec v = 1cdot0 + 0cdot1 = 0, vec u cdot vec w = 1cdot0 + 0cdot(-1) = 0,
mas vec v = (0,1) neq (0,-1) = vec w. Isso mostra que a afirmação é falsa.

Resposta

Falsa. Por exemplo, com vec u=(1,0), vec v=(0,1) e vec w=(0,-1) obtemos vec ucdotvec v=0=vec ucdotvec w) mas vec vneqvec w.

Exercícios relacionados