Considere o sistema
c x+3 y+3 z+9 w=0 -x+y+z-w=0 x-y+(a^2-2) z+a w=0
Determine o valor de a para que esse sistema tenha
(a) infinitas soluções com um parâmetro livre
(a) infinitas soluções com dois parâmetros livres
Em ambos os casos, escreva a solução geral do sistema.

Passo 1

Temos um sistema homogêneo de 3 equações e 4 incógnitas (x, y, z, w). O conteúdo aqui é posto de matriz e parâmetros livres em sistemas lineares, e vamos precisar calcular o posto da matriz de coeficientes usando menores 3×3 e depois resolver por eliminação para escrever a solução geral.

Passo 2

A matriz de coeficientes é
A= 1 & 3 & 3 & 9 -1 & 1 & 1 & -1 1 & -1 & a^2-2 & a
Para determinar o posto, calculamos alguns menores de ordem 3. Se algum menor for não nulo, o posto é 3 (logo 1 parâmetro livre). Caso todos sejam zero, o posto cai para 2 (logo 2 parâmetros livres).

Passo 3

Menor usando colunas 1,2,3:
M123=det1&3&3-1&1&11&-1&a^2-2=4,(a^2-1)
Então M123=0 exatamente se a=pm1.

Passo 4

Menor usando colunas 1,2,4:
M124=det1&3&9-1&1&-11&-1&a=4,(a-1)
Aqui M124=0 só se a=1.

Passo 5

Como para aneqpm1 temos M123neq0, o posto é 3 e o sistema tem 1 parâmetro livre. Para a=1 todos os menores 3×3 se anulam e o posto cai para 2, gerando 2 parâmetros livres.

Passo 6

Agora resolvemos explicitamente.
Para aneq1 (logo posto 3): da equação 2 vem x=y+z-w. Substituindo em 1 e 3 obtemos
y=-z-2w,
origen da equação 1,
e de 3 surge
(a^2-1)z+(a-1)w=0iff (a-1)l((a+1)z+wr)=0
Como aneq1 dividimos por a-1 e achamos
w=-(a+1)z
Assim a solução geral é
(x,y,z,w)=z,l(3(a+1),,2a+1,,1,,-(a+1)r), zin R

Passo 7

Para a=1 (posto 2) fica apenas 2 equações independentes: de 1 e 2 vem
y=-z-2w, x=-3w,
pos não há mais restrição entre z e w. Logo temos dois parâmetros livres e a solução geral é
(x,y,z,w)=s,(0,-1,1,0)+t,(-3,-2,0,1), s,tin R

Resposta

(a) Para a\neq\pm1 o posto da matriz é 3 (um parâmetro livre) e a solução geral é
(x,y,z,w)=t,l(3(a+1),,2a+1,,1,,-(a+1)r), tin R
(b) Para a=1 o posto da matriz é 2 (dois parâmetros livres) e a solução geral é
(x,y,z,w)=s,(0,-1,1,0)+t,(-3,-2,0,1), s,tin R

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