Considere a matriz
A=(rrr 1 & 0 & -1 1 & 1 & 2 0 & -1 & 1 )
(a) Mostre que a matriz A é invertível e calcule sua inversa.
(b) Resolva a equação matricial
A X=(ll 3 & 2 1 & 2 4 & 5 )

Passo 1

Temos a matriz A dada por
A=1 & 0 & -11 & 1 & 20 & -1 & 1,
o objetivo é (a) mostrar que ela é invertível e calcular A^-1 usando determinante e adjunta, e (b) resolver a equação matricial AX=B com
B=3 & 21 & 24 & 5

Passo 2

Para verificar a invertibilidade, calculamos o determinante de A. Usando cofactores na primeira linha, temos
det(A)=1cdotdet1 & 2-1 & 1-0cdot(cdots)+(-1)cdotdet1 & 10 & -1 =1(1cdot1-2(-1))+(-1)(1(-1)-1cdot0)=3+1=4
Como det(A)=4neq0, a matriz A é invertível.

Passo 3

Para encontrar A^-1, usamos a fórmula
A^-1=1det(A)adj(A)
Calculando a matriz de cofactores e depois o transposto, obtemos
adj(A)=3 & 1 & 1-1 & 1 & -3-1 & 1 & 1
Logo,
A^-1=143 & 1 & 1-1 & 1 & -3-1 & 1 & 1

Passo 4

Para resolver AX=B, multiplicamos por A^-1:
X=A^-1B=143 & 1 & 1-1 & 1 & -3-1 & 1 & 13 & 21 & 24 & 5 =1414 & 13-14 & -152 & 5 =7/2 & 13/4-7/2 & -15/41/2 & 5/4

Resposta

A^-1=143 & 1 & 1-1 & 1 & -3-1 & 1 & 1
X=7/2 & 13/4-7/2 & -15/41/2 & 5/4

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