Obtenha todos os vetores u que são ortogonais a (1,0,0), têm norma raiz2 e tais que o ângulo entre u e(1,-1,0) é pi / 4.

Passo 1

O enunciado pede todos os vetores vec uin R^3 tais que eles são ortogonais a (1,0,0), têm norma raiz2 e formam ângulo pi/4 com (1,-1,0). Para resolver isso vamos usar conceitos de produto interno, norma de vetor e definição de ângulo entre vetores.

Passo 2

Como vec u é ortogonal a (1,0,0), temos: vec ucdot(1,0,0)=0 Se escrevemos vec u=(x,y,z), isso dá: xcdot1+ycdot0+zcdot0=0implies x=0 Logo vec u=(0,y,z).
A condição de norma |vec u|=raiz2 significa: raiz0^2+y^2+z^2=raiz2Longrightarrow y^2+z^2=2

Passo 3

Para o ângulo entre vec u e vec v=(1,-1,0) ser pi/4, usamos: cos(pi/4)=vec ucdotvec v|vec u|,|vec v| Aqui vec ucdotvec v=0cdot1+ycdot(-1)+zcdot0=-y, |vec u|=raiz2 e |vec v|=raiz1^2+(-1)^2=raiz2. Então
-yraiz2cdotraiz2=-y2=cos(pi/4)=raiz22Longrightarrow -y=raiz2Longrightarrow y=-raiz2

Passo 4

Substituindo y=-raiz2 em y^2+z^2=2 dá: (-raiz2)^2+z^2=2Longrightarrow2+z^2=2Longrightarrow z^2=0Longrightarrow z=0 Portanto o único vetor que satisfaz todas as condições é (0,y,z)=(0,-raiz2,0).

Resposta

(0,-\sqrt{2},0)

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