Calcule a distância do ponto P à reta r nos casos:
P(1,-1,0), e r:cx=2-t y=0 z=t

Passo 1

O enunciado pede a distância do ponto
usando geometria analítica em (\mathbb{R}^3]. Vamos aplicar a fórmula da distância de um ponto a uma reta em 3D, que usa o produto vetorial.

Passo 2

Escolhemos um ponto A qualquer sobre a reta r. Fazendo t=0 obtemos
A=(2,0,0)
O vetor diretor de r é
v=(-1,0,1),
pois De<a x=-1, De<a y=0, De<a z=1.

Passo 3

Formamos o vetor AP que vai de A a P:
AP=P-A=(1-2,,-1-0,,0-0)=(-1,-1,0)

Passo 4

Calculamos o produto vetorial APtimesv. Usando a regra de Sarrus ou determinante:
APtimesv = i&j&k -1&-1&0 -1&0&1 =(-1),i-(-1),j+(-1),k =(-1,,1,,-1)

Passo 5

A norma do produto vetorial é
l|APtimesvr| =raiz(-1)^2+1^2+(-1)^2 =raiz3
A norma de v é
|v|=raiz(-1)^2+0^2+1^2=raiz2

Passo 6

A distância do ponto à reta é dada por
d=l|APtimesvr||v| =raiz3raiz2 =raiz32 =raiz62

Resposta

d=raiz32=raiz62

Exercícios relacionados