Verifique se o conjunto W é subespaço de V em cada item abaixo.
W=(x, y, z, w) in R^4 ; 2 x+y-w=0, z=0; V=R^4.

Passo 1

Resumo da parada: temos
O tema é subespaço vetorial. Pra provar que é subespaço de , a gente precisa checar três coisas:
  1. O vetor zero de está em ?
  2. Se , então ?
  3. Se e , então ?

Passo 2

Vetor zero: (0,0,0,0). Substituindo nas equações de W:
2cdot0 + 0 - 0 = 0, z=0;Rightarrow;0=0
Portanto (0,0,0,0)in W. Item 1 ok!

Passo 3

Fechamento na soma: seja
u=(x1,y1,z1,w1)in W, v=(x2,y2,z2,w2)in W
Então
2x1+y1-w1=0,;z1=0, 2x2+y2-w2=0,;z2=0
Olha o somatório:
u+v=(x1+x2,;y1+y2,;z1+z2,;w1+w2)
Verifica:
2(x1+x2)+(y1+y2)-(w1+w2) =(2x1+y1-w1)+(2x2+y2-w2)=0+0=0,
z1+z2=0+0=0
Logo u+vin W. Item 2 OK!

Passo 4

Fechamento na multiplicação escalar: seja
Como , vale e . Então
Testa as equações:
Logo . Item 3 OK!

Resposta

Sim. satisfaz as três propriedades de subespaço vetorial, logo é subespaço de .

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