Mostre quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de
:
.
Passo 1
Beleza, o enunciado diz que o espaço vetorial é
(todas as matrizes
)
e o subconjunto em questão é
e o subconjunto em questão é
ou seja, as matrizes simétricas.
A matéria envolvida é Subespaços Vetoriais.
Para resolver, a gente vai usar a definição: mostrar que contém o vetor zero, que é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.
A matéria envolvida é Subespaços Vetoriais.
Para resolver, a gente vai usar a definição: mostrar que
Passo 2
Relembrando a teoria: um subconjunto
de um espaço vetorial
é subespaço se, e só se, satisfaz três condições:
- O vetor zero de
está em . - Se
então . - Se
é escalar e então .
Passo 3
Verificando a condição do vetor zero:
A matriz zero (todas as entradas zero) satisfaz
A matriz zero (todas as entradas zero) satisfaz
logo ela é simétrica e, portanto,
.
Passo 4
Verificando fechamento sob adição:
Se , então
e
.
Daí
Se
Daí
mostrar que
também é simétrica. Logo,
.
Passo 5
Verificando fechamento sob multiplicação escalar:
Se e
é escalar,
Se
então
é simétrica e, portanto,
.
Resposta
O conjunto
é subespaço vetorial de
.