Mostre quais subconjuntos abaixo são subespaços vetoriais de V :
W=A in M(n, n) ; A^t=A, V=M(n, n).

Passo 1

Beleza, o enunciado diz que o espaço vetorial é
V = M(n,n) (todas as matrizes ntimes n)
e o subconjunto em questão é
W = A in M(n,n);|;A^t = A,
ou seja, as matrizes simétricas.
A matéria envolvida é Subespaços Vetoriais.
Para resolver, a gente vai usar a definição: mostrar que W contém o vetor zero, que é fechado sob adição e sob multiplicação por escalar.

Passo 2

Relembrando a teoria: um subconjunto W de um espaço vetorial V é subespaço se, e só se, satisfaz três condições:
  1. O vetor zero de V está em W.
  2. Se A, B in W então A + B in W.
  3. Se lambda é escalar e A in W então lambda A in W.

Passo 3

Verificando a condição do vetor zero:
A matriz zero (todas as entradas zero) satisfaz
0^t = 0,
logo ela é simétrica e, portanto, 0 in W.

Passo 4

Verificando fechamento sob adição:
Se A, B in W, então A^t = A e B^t = B.
Daí
(A + B)^t = A^t + B^t = A + B,
mostrar que A+B também é simétrica. Logo, A + B in W.

Passo 5

Verificando fechamento sob multiplicação escalar:
Se A in W e lambda é escalar,
(lambda A)^t = lambda,A^t = lambda A,
então lambda A é simétrica e, portanto, lambda A in W.

Resposta

O conjunto W = A in M(n,n)mid A^t = A é subespaço vetorial de V = M(n,n).

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