Calcule a distância do ponto P à reta r e determine a sua projeção ortogonal P^prime nos casos

Passo 1

O exercício pede a distância de um ponto a uma reta em R^3 e a projeção ortogonal desse ponto na reta. Vamos usar produto escalar para obter o parâmetro da projeção e depois a fórmula da distância ponto–reta baseada na componente perpendicular.

Passo 2

Primeiro precisamos escrever a reta r em forma paramétrica. A reta dada é (x,y,z): (x-2)/4 = y/(-3) = (z-1)/2. Se chamarmos esse parâmetro de t, obtemos
x=2+4t, y=0-3t, z=1+2t

Passo 3

Da forma paramétrica vemos que um ponto na reta é A=(2,0,1) e o vetor diretor é d=(4,-3,2).

Passo 4

Agora calculamos o vetor AP=P-A, onde P=(1,-1,4):
AP=(1-2,,-1-0,,4-1)=(-1,-1,3)

Passo 5

Para achar a projeção de AP sobre d, usamos o parâmetro
t0=APcdotddcdotd=(-1)cdot4+(-1)cdot(-3)+3cdot24^2+(-3)^2+2^2=-4+3+616+9+4=529

Passo 6

O ponto projetado P' é então A+t0d:
P'=l(2+4cdottfrac529,;0-3cdottfrac529,;1+2cdottfrac529r)=l(tfrac7829,;-tfrac1529,;tfrac3929r)

Passo 7

Para a distância, usamos a norma da parte de AP perpendicular a d. A fórmula é
d=raiz|AP|^2-(APcdotd)^2|d|^2

Passo 8

Já temos |AP|^2=11, (APcdotd)^2=25 e |d|^2=29, logo
d=raiz11-2529=raiz319-2529=raiz29429=7raiz629

Resposta

A distância é d=raiz294/29 (ou 7raiz6/29) e a projeção ortogonal é .

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