Demonstre que dado um ponto P e um plano pi com normal n, a distância entre P e pi é dada por:
d(P, pi)=|n cdot A P||n|
onde A é um ponto qualquer de pi. Sugestão: considere o triângulo A P P^prime, onde P^prime é a projeção ortogonal de P em pi.

Passo 1

Resumindo o enunciado, temos um ponto P, um plano pi com vetor normal n e um ponto Ainpi. Queremos demonstrar que a distância de P a pi é
d(P,pi)=|ncdotAP||n| Vamos usar a projeção ortogonal de P em pi e propriedades do produto escalar.

Passo 2

Seja P' a projeção ortogonal de P sobre o plano pi. Por definição, P'P é paralelo a n e podemos decompor
AP=AP'+P'P

Passo 3

Como AP' está contido em pi, temos ncdotAP'=0. Aplicando o produto escalar de n em ambos os lados da decomposição resulta em
ncdotAP=ncdotAP'+ncdotP'P=ncdotP'P

Passo 4

Já que P'P é paralelo a n, temos
ncdotP'P=|n|,|P'P|
Tomando valor absoluto em ambos os lados e lembrando que |P'P| é exatamente a distância d(P,pi), concluímos
d(P,pi)=|ncdotAP||n|

Resposta

(d(P,\pi)=\frac{|\vec{n}\cdot\overrightarrow{AP}|}{|\vec{n}|})

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