Demonstre que dado um ponto
e um plano
com normal
, a distância entre
e
é dada por:
onde
A é um ponto qualquer de
pi . Sugestão: considere o triângulo
A P P^prime , onde
P^prime é a projeção ortogonal de
P em
pi .
Passo 1
Resumindo o enunciado, temos um ponto
P , um plano
pi com vetor normal
n e um ponto
Ainpi . Queremos demonstrar que a distância de
P a
pi é
Passo 2
Seja
P' a projeção ortogonal de
P sobre o plano
pi . Por definição,
P'P é paralelo a
n e podemos decompor
Passo 3
Como
AP' está contido em
pi , temos
ncdotAP'=0 . Aplicando o produto escalar de
n em ambos os lados da decomposição resulta em
Passo 4
Já que
P'P é paralelo a
n , temos
Tomando valor absoluto em ambos os lados e lembrando que
|P'P| é exatamente a distância
d(P,pi) , concluímos
Resposta
(d(P,\pi)=\frac{|\vec{n}\cdot\overrightarrow{AP}|}{|\vec{n}|})