1. Mostre que:
    (a) A equação de toda reta no plano pode ser escrita na forma: a x+b y+c=0, com a, b, c constantes reais. Tal forma é conhecida como forma canônica ou equação cartesiana da reta no plano.
    (b) A equação na forma canônica é única a menos de uma constante multiplicativa.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que toda reta no plano tem uma equação da forma canônica a,x + b,y + c = 0 e que essa forma é única a menos de um fator escalar. O conteúdo envolve geometria analítica de retas, uso de vetor normal e produto escalar.

Passo 2

Considere uma reta r no plano. Sabemos que ela pode ser descrita por um ponto P0=(x0,y0) que pertence à reta e um vetor diretor d=(d1,d2). Seja n=(a,b) um vetor normal a r, ou seja, ncdotd=0.

Passo 3

Um ponto genérico Q=(x,y) pertence a r se, e somente se, o vetor P0Q=(x-x0,,y-y0) for ortogonal a n. Assim vale
ncdotP0Q=a(x-x0)+b(y-y0)=0,
que podemos reescrever como
a,x + b,y + c = 0,
onde c = -l(a,x0 + b,y0r). Isso mostra a existência da equação canônica.

Passo 4

Para a unicidade, suponha que temos duas equações
a1 x + b1 y + c1 = 0
e
a2 x + b2 y + c2 = 0
que representam a mesma reta. Então seus vetores normais (a1,b1) e (a2,b2) são colineares, ou seja, existe kneq0 tal que
(a2,b2) = k,(a1,b1)
Substituindo num ponto da reta vemos também que c2 = k,c1. Logo
(a2,b2,c2) = k,(a1,b1,c1),
o que prova que a equação canônica é única até multiplicação por constante.

Resposta

(a) Mostramos que qualquer reta que passa por (x0,y0) e tem vetor normal (a,b) tem equação a,x+b,y+c=0, com c=-a x0 - b y0. (b) Se duas equações a1x+b1y+c1=0 e a2x+b2y+c2=0 definem a mesma reta, então (a2,b2,c2)=k(a1,b1,c1) para algum kneq0, garantindo unicidade da forma canônica a menos de fator escalar.

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