Estude a posição relativa das retas r e s nos casos abaixo:
lx=13-lambda y=-13+lambda z=23-lambda lx=1-mu y=-1+mu (mu in R), z=2-mu

Passo 1

O enunciado pede para classificar a posição relativa das retas em ℝ³, ou seja, ver se elas são concorrentes, cruzadas (esquerdas), paralelas ou coincidentes. Vamos usar vetores diretores e pontos de cada reta para isso.

Passo 2

Extraímos das equações paramétricas os vetores diretores e pontos de apoio. Para r, ao escrever x=1/3–λ, y=–1/3+λ, z=2/3–λ, vemos que o vetor diretor é u_r=(-1,1,-1) e um ponto de apoio P=(1/3,–1/3,2/3). Para s, como x=1–μ, y=–1+μ, z=2–μ, o vetor diretor é u_s=(-1,1,-1) e ponto de apoio Q=(1,–1,2).

Passo 3

Como os vetores u_r e u_s são iguais (logo, paralelos), as retas podem ser paralelas coincidentes ou paralelas distintas. Para ver se coincidem, basta verificar se o vetor
PQ=Q-P=(1-1/3, -1+1/3, 2-2/3)=(2/3,-2/3,4/3)
é múltiplo de u_r. Se fosse, as retas seriam a mesma; caso contrário, paralelas distintas.

Passo 4

Comparamos coordenadas: se $ (2/3,-2/3,4/3)=t,(-1,1,-1) $, então 2/3=-t (de x), -2/3=t (de y) e 4/3=-t (de z). Isso daria t=-2/3 e t=-4/3 simultaneamente, o que é impossível. Logo, o vetor (2/3,-2/3,4/3)=t,(-1,1,-1) não está na direção de u_r.

Passo 5

Como têm o mesmo vetor diretor mas não passam pelo mesmo conjunto de pontos, concluímos que as retas são paralelas e distintas.

Resposta

As retas r e s são paralelas e distintas.

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