São dados os pontos
e
em relação a um sistema de coordenadas qualquer.
(a) Determine
sobre a reta que passa por
e
tal que o comprimento de
seja o triplo do comprimento de
.
(b) Escreva equações paramétricas para a reta determinada pelos pontos
e
obtenha sua forma simétrica (se existir). O ponto
pertence a essa reta?
© Verifique que os pontos
e
são vértices de um triângulo.
(d) Escreva equações paramétricas da mediana relativa ao vértice
do triângulo.
(a) Determine
(b) Escreva equações paramétricas para a reta determinada pelos pontos
© Verifique que os pontos
(d) Escreva equações paramétricas da mediana relativa ao vértice
Passo 1
Vamos resumir o problema: temos os pontos A=(3,6,−7), B=(−5,2,3) e C=(4,−7,−6). O que se pede é: (a) achar P na reta AB tal que PB = 3·PA; (b) escrever equações paramétricas e forma simétrica da reta BC e ver se D=(3,1,4) pertence; © mostrar que A, B e C formam um triângulo (não estão colineares); (d) escrever as equações paramétricas da mediana a partir de C. Vamos usar representação paramétrica de reta, condição de razão de segmentos e teste de colinearidade por vetores.
Passo 2
Para (a), representamos um ponto genérico na reta AB como P=A+t(B−A). Assim
e
PB=(t−1)(B−A) . A condição de comprimentos é
|PB|=3|PA| .
Cancelando o fator comum |B−A| no módulo, temos |t−1|=3|t|. Para P entre A e B (0<t<1) vem 1−t=3t ⇒ t=1/4. Logo P = (3,6,−7)+¼(−8,−4,10) = (1,5,−9/2).
Cancelando o fator comum |B−A| no módulo, temos |t−1|=3|t|. Para P entre A e B (0<t<1) vem 1−t=3t ⇒ t=1/4. Logo P = (3,6,−7)+¼(−8,−4,10) = (1,5,−9/2).
Passo 3
Para (b), o vetor diretor de BC é d=C−B=(9,−9,−9). Logo as equações paramétricas são x=−5+9t, y=2−9t, z=3−9t.
Isolando t em cada uma, obtemos a forma simétrica (x+5)/9=(y−2)/(−9)=(z−3)/(−9).
Para ver se D=(3,1,4) pertence, calculamos t pela primeira equação: t=(3+5)/9=8/9. Substituindo em y dá 2−9·(8/9)=−6≠1, logo D não está na reta.
Isolando t em cada uma, obtemos a forma simétrica (x+5)/9=(y−2)/(−9)=(z−3)/(−9).
Para ver se D=(3,1,4) pertence, calculamos t pela primeira equação: t=(3+5)/9=8/9. Substituindo em y dá 2−9·(8/9)=−6≠1, logo D não está na reta.
Passo 4
Para ©, calculemos
AB=(-8,-4,10) e
AC=(1,-13,1) . Não existe λ tal que (1,−13,1)=λ(−8,−4,10), então A, B e C não são colineares e formam um triângulo.
Passo 5
Para (d), o ponto médio de AB é M=(A+B)/2=(−1,4,−2). A mediana de C a AB é a reta que passa por C=(4,−7,−6) com vetor diretor M−C=(−5,11,4). Portanto x=4−5s, y=−7+11s, z=−6+4s.
Resposta
(a) P=(1,5,−9/2).
(b) Equações paramétricas de BC: x=−5+9t, y=2−9t, z=3−9t; forma simétrica (x+5)/9=(y−2)/(−9)=(z−3)/(−9). O ponto D não pertence.
© Sim, formam triângulo poisAB e
AC não são colineares.
(d) Mediana de C: x=4−5s, y=−7+11s, z=−6+4s.
(b) Equações paramétricas de BC: x=−5+9t, y=2−9t, z=3−9t; forma simétrica (x+5)/9=(y−2)/(−9)=(z−3)/(−9). O ponto D não pertence.
© Sim, formam triângulo pois
(d) Mediana de C: x=4−5s, y=−7+11s, z=−6+4s.