Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância do ponto até uma reta definida pelas equações paramétricas:
Aqui, estamos lidando com Geométrica Analítica e Vetores no Espaço 3D. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço, usando vetores e produtos vetoriais.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer que esteja na reta r . Observando as equações paramétricas, quando t = 0 :
x = 2, y = 1 + 0 = 1, z = 2 - 3 times 0 = 2
Então, temos o ponto A(2, 1, 2) na reta r .
Passo 3
Agora, precisamos identificar a direção da reta r . A direção está nos coeficientes de t nas equações paramétricas. Assim:
v = lang<= 0, 1, -3 rang<=
Este é o vetor diretor da reta r .
Passo 4
Em seguida, vamos formar o vetor que vai do ponto A na reta r até o ponto P que queremos medir a distância:
AP = P - A = lang<= 2-2, -1-1, 3-2 rang<= = lang<= 0, -2, 1 rang<=
Passo 5
Agora, para encontrar a distância d do ponto P até a reta r , usamos a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço:
d = ||AP times v||||v||
Onde times representa o produto vetorial e || cdot || é a norma do vetor.
Passo 6
Vamos calcular o produto vetorial AP times v :
AP times v = i & j & k 0 & -2 & 1 0 & 1 & -3 = i((-2)(-3) - (1)(1)) - j((0)(-3) - (1)(0)) + k((0)(1) - (-2)(0))