Calcule a distância do ponto P(2,-1,3) a reta
r:l x=2 y-1 z=2-3 y

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente precisa calcular a distância do ponto P(2, -1, 3) até uma reta r definida pelas equações paramétricas:
r:l x=2 y=1 + t z=2-3 t
Aqui, estamos lidando com Geométrica Analítica e Vetores no Espaço 3D. Para resolver isso, vamos precisar entender como calcular a distância entre um ponto e uma reta no espaço, usando vetores e produtos vetoriais.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar um ponto qualquer que esteja na reta r . Observando as equações paramétricas, quando t = 0 :
x = 2, y = 1 + 0 = 1, z = 2 - 3 times 0 = 2
Então, temos o ponto A(2, 1, 2) na reta r .

Passo 3

Agora, precisamos identificar a direção da reta r . A direção está nos coeficientes de t nas equações paramétricas. Assim:
v = lang<= 0, 1, -3 rang<=
Este é o vetor diretor da reta r .

Passo 4

Em seguida, vamos formar o vetor que vai do ponto A na reta r até o ponto P que queremos medir a distância:
AP = P - A = lang<= 2-2, -1-1, 3-2 rang<= = lang<= 0, -2, 1 rang<=

Passo 5

Agora, para encontrar a distância d do ponto P até a reta r , usamos a fórmula da distância entre um ponto e uma reta no espaço:
d = ||AP times v||||v||
Onde times representa o produto vetorial e || cdot || é a norma do vetor.

Passo 6

Vamos calcular o produto vetorial AP times v :
AP times v = i & j & k 0 & -2 & 1 0 & 1 & -3 = i((-2)(-3) - (1)(1)) - j((0)(-3) - (1)(0)) + k((0)(1) - (-2)(0))
= i(6 - 1) - j(0 - 0) + k(0 - 0) = i(5) = lang<= 5, 0, 0 rang<=

Passo 7

Agora, calculamos a norma do produto vetorial:
||AP times v|| = ||lang<= 5, 0, 0 rang<=|| = raiz5^2 + 0^2 + 0^2 = raiz25 = 5

Passo 8

Em seguida, calculamos a norma do vetor diretor v :
||v|| = ||lang<= 0, 1, -3 rang<=|| = raiz0^2 + 1^2 + (-3)^2 = raiz0 + 1 + 9 = raiz10

Passo 9

Finalmente, aplicamos a fórmula da distância:
d = 5raiz10 = 5 raiz1010 = raiz102
A distância pode ser deixada assim ou aproximada numericamente:
d approx 3.1622 approx 1.581

Resposta

A distância do ponto P(2, -1, 3) à reta r é raiz102 unidades, aproximadamente 1.581 unidades.

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