Determine o valor de m para que seja 90^circ o ângulo entre os planos:
pi1: x+2 z+m y-7=0 e pi2: 4 x+5 y+3 z+2=0

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que envolve Geometria Analítica, mais especificamente sobre o ângulo entre planos. A gente precisa encontrar o valor de m para que o ângulo entre os planos pi1 e pi2 seja de 90^circ . Para isso, vamos precisar entender os vetores normais desses planos e usar o conceito de produto escalar.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar os vetores normais de cada plano. A equação de um plano na forma Ax + By + Cz + D = 0 tem o vetor normal n = (A, B, C) .
Para o plano pi1: x + 2z + m y -7=0 , o vetor normal é:
n1 = (1, m, 2)
E para o plano pi2: 4x +5y +3z +2=0 , o vetor normal é:
n2 = (4, 5, 3)

Passo 3

Sabemos que o ângulo entre os planos é o mesmo que o ângulo entre os seus vetores normais. Para que esse ângulo seja de 90^circ , os vetores normais devem ser perpendiculares. E, para vetores serem perpendiculares, o produto escalar entre eles deve ser igual a zero.

Passo 4

Vamos calcular o produto escalar entre n1 e n2 :
n1 cdot n2 = (1)(4) + (m)(5) + (2)(3) = 4 + 5m + 6
Simplificando:
4 + 5m + 6 = 0
5m + 10 = 0
Agora, resolvemos para m :
5m = -10 implies m = -2

Resposta

O valor de m que faz o ângulo entre os planos ser 90^circ é m = -2 .

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