Considere a função T: R^3 P2(R) dada por T(x, y, z)=(-x+6 z) t^2+(3 x+y-9 z) t+(z-x). Com base nesses dados, responda:
Encontre a matriz A=[T]beta^alpha sendo alpha a base canônica de R^3 e beta a base canônica de P2(R).

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você tem uma função linear T: R^3 P2(R) definida por
T(x, y, z) = (-x + 6z) t^2 + (3x + y - 9z) t + (z - x)
O que a gente precisa fazer é encontrar a matriz A = [T]beta^alpha , onde:
  • alpha é a base canônica de R^3 , que são os vetores e1 = (1,0,0) , e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1) .
  • beta é a base canônica de P2(R) , que são os polinômios 1 , t e t^2 .
Vamos precisar entender como uma transformação linear se representa em forma de matriz usando essas bases.

Passo 2

Primeiro, a gente vai aplicar a transformação T em cada um dos vetores da base alpha de R^3 . Esses vetores são e1 = (1,0,0) , e2 = (0,1,0) e e3 = (0,0,1) .
Vamos calcular T(e1) , T(e2) e T(e3) :
  1. Calculando T(e1) :
T(1,0,0) = (-1 + 6 cdot 0) t^2 + (3 cdot 1 + 0 - 9 cdot 0) t + (0 - 1) = -t^2 + 3t - 1
  1. Calculando T(e2) :
T(0,1,0) = (-0 + 6 cdot 0) t^2 + (3 cdot 0 + 1 - 9 cdot 0) t + (0 - 0) = 0 cdot t^2 + t + 0 = t
  1. Calculando T(e3) :
T(0,0,1) = (-0 + 6 cdot 1) t^2 + (3 cdot 0 + 0 - 9 cdot 1) t + (1 - 0) = 6t^2 - 9t + 1

Passo 3

Agora, vamos expressar esses resultados nas coordenadas da base beta de P2(R) , que é 1, t, t^2 . Isso significa que cada polinômio será representado por um vetor cujas componentes correspondem aos coeficientes de 1 , t e t^2 .
Vamos transformar cada T(ei) em coordenadas:
  1. Para T(e1) = -t^2 + 3t - 1 :
-1 3 -1
  1. Para T(e2) = t :
0 1 0
  1. Para T(e3) = 6t^2 - 9t + 1 :
1 -9 6

Passo 4

Agora que temos as coordenadas de cada imagem dos vetores da base alpha na base beta , vamos montar a matriz A . Cada coluna de A será uma dessas coordenadas correspondentes a T(e1) , T(e2) e T(e3) .
Então, a matriz A fica assim:
A = -1 & 0 & 1 3 & 1 & -9 -1 & 0 & 6

Resposta

A matriz A = [T]beta^alpha é dada por:
A = -1 & 0 & 1 3 & 1 & -9 -1 & 0 & 6

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