Questão 1. Seja \vec{u}=(1,2,-1), \vec{v}=(0,-1,3), \vec{w}=(1,1,1). Classifique os itens a seguir como verdadeiros (V) ou falsos (F).
a) \vec{u}+\vec{v}=(1,1,2)
b) 2 \vec{u}-\vec{v}=(2,5,-5)
c) O produto escalar \vec{u} \cdot \vec{w}=2
d) \vec{u} e \vec{w} são ortogonais
e) \vec{v}-\vec{w}=(-1,-2,2)

Passo 1

O enunciado pede para classificar como verdadeiros (V) ou falsos (F) cinco itens envolvendo os vetores \vec{u}=(1,2,-1), \vec{v}=(0,-1,3) e \vec{w}=(1,1,1). Vamos usar as definições de soma de vetores, combinação linear, produto escalar e ortogonalidade.

Passo 2

Calculando a soma:
\vec{u}+\vec{v} = (1+0,\;2+(-1),\;-1+3) = (1,1,2).
Como bate com o item, a) é verdadeira.

Passo 3

Calculando a combinação linear:
2\vec{u}-\vec{v} = 2(1,2,-1) - (0,-1,3) = (2,4,-2)-(0,-1,3) = (2,\,4+1,\,-2-3) = (2,5,-5).
Logo, b) é verdadeira.

Passo 4

Calculando o produto escalar:
\vec{u}\cdot\vec{w} = 1\cdot1 + 2\cdot1 + (-1)\cdot1 = 1+2-1 = 2.
Portanto, c) é verdadeira.

Passo 5

Dois vetores são ortogonais se seu produto escalar for zero. Aqui \vec{u}\cdot\vec{w}=2\neq0, então d) é falsa.

Passo 6

Calculando a diferença:
\vec{v}-\vec{w} = (0-1,\;-1-1,\;3-1) = (-1,-2,2).
Logo, e) é verdadeira.

Resposta

a) V
b) V
c) V
d) F
e) V

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